《北京师范大学国家级精品课程：复变函数教程》(complex function)共61讲

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《北京师范大学国家级精品课程：复变函数教程》(complex function)共61讲

内容简介：

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 　

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 　　
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 　

复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 　

比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。


本视频使用的教材：
复变函数论
作　　者：钟玉泉　编

出 版 社：高等教育出版社

目录:

第一章 复数与复变函数
§1.复数
1.复数域
2.复平面
3.复数的模与辐角
4.复数的乘幂与方根
5.共轭复数
6.复数在几何上的应用举例
§2.复平面上的点集
1.平面点集的几个基本概念
2.区域与若尔当(Jordan)曲线
§3.复变函数
1.复变函数的概念
2.复变函数的极限与连续性
§4.复球面与无穷远点
1.复球面
2.扩充复平面上的几个概念
第一章习题
第二章 解析函数
§1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程
1.复变函数的导数与微分
2.解析函数及其简单性质
3.柯西-黎曼方程
§2.初等解析函数
1.指数函数
2.三角函数与双曲函数
§3.初等多值函数
1.根式函数
2.对数函数
3.一般幂函数与一般指数函数
4.具有多个有限支点的情形
5.反三角函数与反双曲函数
第二章习题
第三章 复变函数的积分
§1.复积分的概念及其简单性质
1.复变函数积分的定义
2.复变函数积分的计算问题
3.复变函数积分的基本性质
§2.柯西积分定理
1.柯西积分定理
2.柯西积分定理的古莎证明
3.不定积分
4.柯西积分定理的推广
5.柯西积分定理推广到复周线的情形
§3.柯西积分公式及其推论
1.柯西积分公式
2.解析函数的无穷可微性
3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理
4.摩勒拉(Morera)定理
5.柯西型?分
§4.解析函数与调和函数的关系
§5.平面向量场——解析函数的应用(一)
1.流量与环量
　2.无源、漏的无旋流动
3.复势
第三章习题
第四章 解析函数的幂级数表示法
§1.复级数的基本性质
1.复数项级数
2.一致收敛的复函数项级数
3.解析函数项级数
§2.幂级数
1.幂级数的敛散性
2.收敛半径R的求法、柯西-阿达马(Hadamard)公式
3.幂级数和的解析性
§3.解析函数的泰勒(Taylor)展式
　1.泰?定理
2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况
3.一些初等函数的泰勒展式
　§4.解析函数零点的孤立性及惟一性定理
1.解析函数零点的孤立性
2.惟一性定理
3.最大模原理
第四章习题
第五章 解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点
§1.解析函数的洛朗展式
　1.双边幂级数
2.解析函数的洛朗展式
　3.洛朗级数与泰勒级数的关系
4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式
　§2.解析函数的孤立奇点
1.孤立奇点的三种类型
2.可去奇点
3.施瓦茨(Schwarz)引理
4.极点
5.本质奇点
6.皮卡(Picard)定理
§3.解析函数在无穷远点的性质
§4.整函数与亚纯函数的概念
1.整函数
2.亚纯函数
§5.平面向量场——解析函数的应用(二)
1.奇点的流体力学意义
2.在电场中的应用举例
第五章习题
第六章 留数理论及其应用
第七章 共形映射
第八章 解析延拓
第九章 调和函数

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feizi

相当不错，感谢无私分享精神

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